Взаимно простые числа — это числа, которые не имеют общих простых делителей, то есть их наибольший общий делитель равен единице. Давайте рассмотрим числа 209 и 171, чтобы убедиться, что они не взаимно простые.
Чтобы доказать отсутствие общих простых делителей, мы можем разложить эти числа на простые множители и сравнить их.
Число 209 можно разложить на простые множители следующим образом: 209 = 11 * 19. Таким образом, простые множители числа 209 — это 11 и 19.
Число 171 можно разложить на простые множители следующим образом: 171 = 3 * 3 * 19. Таким образом, простые множители числа 171 — это 3 и 19.
Теперь мы видим, что 19 является общим простым делителем для обоих чисел. Следовательно, 209 и 171 не являются взаимно простыми числами, так как у них есть общие простые делители.
Математическое определение взаимной простоты
В математике существует понятие взаимной простоты двух чисел. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Иными словами, у взаимно простых чисел нет общих делителей, кроме 1.
Пусть числа a и b являются взаимно простыми. Тогда можно записать:
- a и b не имеют общих делителей, кроме 1;
- НОД(a, b) = 1, где НОД — наибольший общий делитель чисел a и b.
Если числа a и b не являются взаимно простыми, то их наибольший общий делитель будет больше единицы.
Данное определение позволяет нам понять, что числа 209 и 171 не взаимно простые, так как их наибольший общий делитель равен 11. То есть, эти числа имеют общие делители, помимо 1.
Разложение числа 209 на простые множители
Число 209 можно разложить на простые множители следующим образом:
| Простой множитель | Степень |
|---|---|
| 11 | 1 |
| 19 | 1 |
Таким образом, число 209 представляется в виде произведения простых множителей 11 и 19.
Разложение числа 171 на простые множители
171 = 3 × 3 × 19
Таким образом, 171 можно представить как произведение трех простых чисел: 3, 3 и 19.
Общие простые множители чисел 209 и 171
Для этого разложим числа на простые множители:
| Число | Простые множители |
|---|---|
| 209 | 11, 19 |
| 171 | 3, 19 |
Из разложений видно, что общим простым множителем чисел 209 и 171 является число 19. Таким образом, числа 209 и 171 не являются взаимно простыми.
Нахождение НОД чисел 209 и 171
Метод Эйлера основан на простом наблюдении: если два числа делятся на одно и то же число, то и разность этих чисел также будет делиться на это число.
Рассмотрим числа 209 и 171:
209 = 11 * 19
171 = 3 * 3 * 19
Заметим, что оба числа делятся на 19. Тогда разность чисел, 209 — 171 = 38, также будет делиться на 19.
Далее, разделим 171 на 38:
38 = 2 * 19
Из этого следует, что 38 также является делителем числа 171.
Следующим шагом необходимо найти наибольший общий делитель чисел 38 и 19:
38 = 2 * 19
19 = 1 * 19
Итак, НОД(209, 171) = 19.
Таким образом, числа 209 и 171 не являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 19.
Сравнение НОД с единицей
Для чисел 209 и 171 мы можем вычислить их НОД с помощью алгоритма Евклида. Выполним ряд делений:
209 ÷ 171 = 1 (остаток 38)
171 ÷ 38 = 4 (остаток 19)
38 ÷ 19 = 2 (остаток 0)
Как видно из вычислений, НОД(209, 171) = 19. Таким образом, НОД этих двух чисел не равен единице, а значит, числа 209 и 171 не являются взаимно простыми.